ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

CHƯƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1.

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

§2.

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Xác định dấu của các biểu thức sau:

b) B = sin215⁰.tan ²¹



7

a) A = sin50⁰.cos(300⁰)

c) C = cot ³₅^.sin 

 2 

d) D = cos ⁴₅^.sin ^₃.tan ⁴₃^.cot ⁹₅^







3 

Cho 0⁰  90⁰ . Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin( 90⁰)

b) B = cos( 45⁰)

c) C = cos(270⁰)

d) D = cos(2 90⁰)

Cho 0   ^₂ . Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(  )

b) B = tan(  )





2 

5 

d) D = cos^_  ³₈^{ }_

c) C = sin  





Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sinA sinB  sinC

b) B = sinA.sinB.sinC

c) C = cos^A₂.cos^B₂.cos^C₂

d) D = tan^A₂ tan^B₂ tan^C₂

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) cosa  ⁴₅, 270⁰a  360⁰

b) cos  ²,  ^₂  0

5

c) sina  ₁₃⁵

,

^₂a 

d) sin   ¹₃, 180⁰  270⁰

e) tana  3,  a  ³₂^

f) tan  2, ^₂ 

h) cot  3,    ³₂^

g) cot15⁰ 2 3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:

a) A  ^c_c^o_o^t_t^a_a^__t^t_a^a_nⁿ_a^akhi sina  ³₅, 0 a  ^₂

ĐS: ²⁵₇

b) B  ^8tan²^a^^3cot^a^¹khi sina  , 90⁰a 180⁰

1

3

8

ĐS:

3

tana cota

sin²a 2sina.cosa2cos²a

23

ĐS: 

47

ĐS: ⁵⁵₆

c) C 

d) D 

khi cota  3

2

sin²a3sina.cosa 4cos²a

sina 5cosa

khi tana  2

sin³a 2cos³a

cos³a 2sin³a cosa _khi_tan_a_₂

e) E  ⁸

ĐS:  ₂³

ĐS: ¹⁹₁₃

ĐS:  ₂³

3

cosasin a

2

cota 3tana

cota tana

khi cosa   ²₃

g) G  ₂

h) H  ^sin^a^^cos^a

cosasina ^khi^tan^a^⁵

Cho sina cosa  ₄⁵. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A  sina.cosa

b) B  sina cosa c) C  sin³a cos³a

ĐS: a) ₃₂⁹

b)  ₄⁷

c) 

41 7

128

Cho tana cota  3. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A  tan²a cot²a b) B  tana cota c) C  tan⁴acot⁴a

ĐS: a) 11

b)  13

c) 33 13

3

4

ĐS: A  ⁷₄

a) Cho 3sin⁴x  cos⁴x  . Tính A  sin⁴x 3cos⁴x.

b) Cho 3sin⁴x  cos⁴x  ₂¹. Tính B  sin⁴x 3cos⁴x .

ĐS: B = 1

7

4

7

4

57

28

c) Cho 4sin⁴x  3cos⁴x  . Tính C  3sin⁴x  4cos⁴x .

ĐS: C  C 

a) Cho sinx  cosx  ¹₅. Tính sinx, cosx, tanx, cotx .

b) Cho tanx  cotx  4 . Tính sinx, cosx, tanx, cotx .

ĐS: a) ⁴₅;  ;  ; 

3

5

4

3

4

1

²^³; 2 3; 2 3

b)

;

2

2 3

2

^³ ;

2

1

hoặc 2 3; 2 3;

2

2 3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết

Tính các GTLG của các góc sau:

a) 120⁰; 135⁰; 150⁰; 210⁰; 225⁰; 240⁰; 300⁰; 315⁰; 330⁰; 390⁰; 420⁰; 495⁰; 2550⁰

b) 9; 11; ⁷

 _;13 _;_

5 _;10 _;_5 _;11 _;_16 _;13 _;29 _;_31

2

4

4 3 3 3 3 6 6 4

Rút gọn các biểu thức sau:







2





a) A  cos

x  cos(2 x) cos(3 x)





b) B  2cosx 3cos( x) 5sin^_⁷₂^x  cot





 3 __x











 2

c) C  2sin^_^₂x  sin(5 x) sin





 3

 2

x  cos



 __x

















 2



3



 3

 2

d) D  cos(5 x)sin

x  tan

x  cot(3 x)











2



Rút gọn các biểu thức sau:

a) A  ^sin(^³²⁸⁰^{).sin 958}⁰

_cos(508⁰).cos(1022⁰)

ĐS: A = –1

cot 572⁰

tan(212⁰)

b) B  ^sin(^²³⁴⁰⁾^^cos216⁰.tan 36⁰

ĐS: B  1

sin144⁰ cos126⁰

c) C  cos20⁰ cos40⁰ cos60⁰... cos160⁰ cos180⁰

d) D  cos²10⁰ cos²20⁰ cos²30⁰... cos²180⁰

e) E  sin20⁰ sin40⁰sin60⁰... sin340⁰sin360⁰

ĐS: C  1

ĐS: D  9

ĐS: E  0

f) 2sin(790⁰x)cos(1260⁰x)tan(630⁰x).tan(1260⁰x)

ĐS: F 1 cosx

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin⁴x cos⁴x  12cos²x

b) sin⁴x  cos⁴x  12cos²x.sin²x

c) sin⁶x  cos⁶x  13sin²x.cos²x

d) sin⁸x  cos⁸x  14sin²x.cos²x 2sin⁴x.cos⁴x

e) cot²x cos²x  cos²x.cot²x

f) tan²x sin²x  tan²x.sin²x

g) 1 sinx  cosx  tanx  (1 cosx)(1 tanx)

h) sin²x.tanx  cos²x.cotx 2sinx.cosx  tanx  cotx

sinx  cosx 1 _

2cosx

sinx  cosx 1

i)

1

 cosx

k) ¹^^sin²^x 1 tan²x

1

sin²x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) tana.tanb  ^t_c^a_oⁿ_t_a^a_^^t_c^a_oⁿ_t_b^b

b)

sina

cosa

_1 cot²a

sina cosa ^cosasina

2

1

 cot a

sin²a

 cota ^1^c^ot^sa²n^aa ^^sin^a^.cos^a

sin²a _sina cosa __sin_a__cos_a

c) 1 ₁

d)

f)

sina cosa

2

tan a1

_e)1^^cos^a^_₁_(1 cosa)²_^__2cot_a

tan²a _.1 cot²a _1 tan⁴a

sina

2

sin a 

2

1 tan²a cot a

tan²a cot²a





g) 



₁__sin_a²

¹^^sin^a 

tan²a tan²b _sin²asin²b

1

 sina

 4tan²a

h)

k)

sina ^

2

sin²a.sin²b

tan a.tan b

^sin²^a^^tan²^a tan⁶a

tan³a _

1

_sin_a_.cos_a_cot³a

 tan³a cot³a

i)

cos²a cot²a

sin a

2

cos a

2

sin⁴x _cos⁴a _

1

sin⁸x _cos⁸x _

1

Cho

_a__b, vôùia,b  0. Chứng minh:

₃ .

a

b

_a3

_b3

(ab)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1sin²x)cot²x 1cot²x

b) (tanx  cotx)²(tanx cotx)²

cos²x  cos²x.cot²x

sin²x  sin²x.tan²x

c)

d) (x.sinay.cosa)²(x.cosay.sina)²

sin²x  tan²x

cos²a cot²x

sin²x  cos²x  cos⁴x

cos²x sin²x  sin⁴x

e)

f)

1

 cosx _

₁¹_^^c_c^o_o^s_s^x_x; x (0,  )

g) sin²x(1 cotx) cos²x(1 tanx)

h)

 cosx

1

 sinx _

sinx

₁¹_^^s_sⁱ_iⁿ_n^x_x; x  ;

   

 2 2 

 3 

k) cosx  tan²x sin²x; x_



 2 2 

i)

;





Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

a) 3(sin⁴x  cos⁴x)2(sin⁶x  cos⁶x)

ĐS: 1

b) 3(sin⁸x cos⁸x) 4(cos⁶x 2sin⁶x)6sin⁴x

c) (sin⁴x  cos⁴x 1)(tan²x cot²x 2)

d) cos²x.cot²x 3cos²x cot²x 2sin²x

ĐS: 1

ĐS: –2

ĐS: 2

sin⁴x  3cos⁴x 1

sin⁶x  cos⁶x  3cos⁴x 1

e)

ĐS: ²₃

ĐS: 2

ĐS: ₂³

tan²x  cos²x _cot²x sin²x

f)

2

sin x

cos²x

sin⁶x  cos⁶x 1

sin⁴x  cos⁴x 1

g)

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

AB

c) sin

 cos^C₂

a) sinB  sin(AC)

b) cos(AB)  cosC

2

d) cos(B C)  cos(A 2C)

e) cos(AB C)  cos2C

f) cos ^³^A^^B^^C sin2A

g) sin^A^^B^³^C cosC

h) tan^A^^B^²^C cot ³₂^C

2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

§3.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

VẤN ĐỀ 1: Công thức cộng

Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

b) ₁₂^

;

5 7

12 12

;

a) 15⁰; 75⁰; 105⁰

Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:





 __khi_sin_{ }3 _, _{ }

38 25 3

11

a) tan  

ĐS:



3 

5 2





3



12 3

(512 3)

26

b) cos

 khi sin  

,

₂  2









13

1

3

1

4

119

ĐS: 

144

c) cos(ab).cos(ab) khi cosa , cosb 

d) sin(ab), cos(ab), tan(ab) khi sina  ₁₇⁸, tanb₁₂⁵ và a, b là các góc nhọn.

ĐS: ₂₂₁²¹

140

221

₂₂₀²¹ .

;

e) tana tanb, tana, tanb khi 0a,b ^₂,ab  ^₄ và tana.tanb  32 2 .

Từ đó suy ra a, b . ĐS: 2 2  2; tana  tanb  2 1,a b  ^₈

Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

ĐS: ₂³

a) A = sin²20^o sin²100^o sin²140^o

ĐS: ₂³

b) B = cos²10^o cos110^o cos²130^o

c) C = tan20^o.tan 80^o tan80^o.tan140^o tan140^o.tan 20^o

d) D = tan10^o.tan70^o tan70^o.tan130^otan130^o.tan190^o

ĐS: –3

cot 225^o cot 79^o.cot 71^o

cot 259^o cot 251^o

e) E =

ĐS: 3

ĐS:  ₂³

f) F = cos²75^osin²75^o

1

 tan15^o

 tan15⁰

ĐS: ₃³

g) G =

h) H = tan15⁰ cot15⁰

ĐS: 4

HD: 40⁰ 60⁰20⁰; 80⁰ 60⁰20⁰; 50⁰ 60⁰10⁰; 70⁰ 60⁰10⁰

Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin(x y).sin(x y)  sin²x sin²y

2

cos(x y) cos(x y)

sin(x y)

b) tanx  tany 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168





 

3 





 

3 





2 

3 





2 __.tan_x_ ₃

c) tanx.tan x 

 tan x 

.tan x 

 tan x 















3 





 

3 





 

4 





 

6 





3 

₄²(1 3)





4 

d) cos x  .cos x 

 cos x 

.cos x 















e) (cos70^o cos50^o)(cos230^o cos290^o) (cos40^o cos160^o)(cos320^ocos380^o)0

tan²2x  tan²x

f) tanx.tan3x 

1

 tan²2x.tan²x

Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:

a) 2tana  tan(ab)khi sinb  sina.cos(a b)

b) 2tana  tan(ab)khi 3sinb  sin(2ab)

c) tana.tanb   ¹₃khi cos(ab)  2cos(ab)

d) tan(ab).tanb  ₁¹_^^k_kkhi cos(a 2b) k cosa

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a

c) Khai triển giả thiết

b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a

d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) sinC  sinA.cosB sinB.cosA

sinC

cosA.cosB ^^tan^A^^tan^B⁽^A^,^B^⁹⁰⁰⁾

b)

c) tanA tanB tanC  tanA.tanB.tanC (A,B,C  90⁰)

d) cotA.cotB  cotB.cotC  cotC.cotA 1

e) tan^A₂.tan^B₂ tan^B₂.tan^C₂ tan^C₂.tan ^A₂1

f) cot^A₂ cot^B₂ cot^C₂ cot^A₂.cot^B₂.cot^C₂

cosC

cosB

g) cotB 

(A  90^o)

sinB.cosA ^^cot^C^sinC.cosA

h) cos^A₂.cos^B₂.cos^C₂ sin^A₂sin^B₂cos^C₂sin^A₂cos^B₂sin  cos^A₂sin^B₂ sin

C

2

C

2

i) sin²^A₂ sin²^B₂ sin²^C₂^¹^^2sin^A₂sin^B₂

sin

C

2

e, f) Sử dụng ^_₂

A B  C





2  2 ^⁹⁰⁰

A B C 

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180

0

g) VT = VP = tanA

h) Khai triển cos^_ 



2 

2





A B C 

i) Khai triển sin

 

.





2

2 



B C 

2

₂_ sin^A₂  cos^B₂.cos^C₂ sin^A₂sin^B₂.sin^C₂

Chú ý: Từ cos







sin^A₂.cos^B₂.cos^C₂ sin²^A₂sin^A₂.sin^B₂.sin^C₂



Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:

a) tanA tanB tanC  3 3, ABCnhoïn.

b) tan²A tan²B tan²C  9, ABCnhoïn.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

c) tan⁶A tan⁶B tan⁶C 81, ABCnhoïn.

d) tan²^A₂ tan²^B₂ tan²^C₂1

e) tan^A₂ tan^B₂ tan^C₂ 3

HD: a, b, c) Sử dụng tanA tanB tanC  tanA.tanB.tanC và BĐT Cô–si

d) Sử dụng a²b²c²abbcca và tan^A₂.tan^B₂ tan^B₂.tan^C₂ tan^C₂.tan ^A₂1

2

e) Khai triển ^_tan^A₂ tan^B₂ tan^C₂_^_

và sử dụng câu c)

VẤN ĐỀ 2: Công thức nhân

Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) cos2, sin2, tan2 khi cos   ⁵

₁₃,    ³₂^

b) cos2, sin2, tan2 khi tan  2

c) sin, cos khi sin2   , ^₂  ³₂^

4

5

d) cos2, sin2, tan2 khi tan  ₈⁷

Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A  cos20^o.cos40^o.cos60^o.cos80^o

ĐS: ₁₆¹

ĐS: ¹₈

b) B  sin10^o.sin50^o.sin70^o

c) C  cos^₇.cos ⁴₇^.cos ⁵₇^

3

8

1

16

1

d) D  cos10⁰.cos 50⁰.cos 70⁰

e) E  sin6^o.sin42^o.sin66^o.sin78^o

f) G  cos ²₃₁^.cos ⁴₃₁^.cos ⁸₃₁^

ĐS:

_.cos16 _.cos32

31

32

2

512

3

h) H  sin5^o.sin15^o.sin25^o.... sin75^o.sin85^o

i) I  cos10⁰.cos 20⁰.cos30 ⁰...cos 70⁰.cos80 ⁰

k) K  96 3sin ₄₈^.cos ₄₈^.cos ₂₄^cos₁₂^cos^₆

l) L  cos₁₅^.cos ²₁₅^.cos ³₁₅^.cos ⁴₁₅^.cos ⁵₁₅^.cos ⁶₁₅^.cos ⁷₁₅^

ĐS:

256

ĐS: 9

1

128

2

ĐS:

m) M  sin₁₆^.cos ₁₆^.cos ^₈

8

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Chứng minh rằng:

a) P  cos ₂^acos ^a₂cos ₂^a₃... cos ^a



sina

₂_n_.sin a

n

2

2ⁿ

1

₂n

  ₂¹

_b)_Q__{cos 2} 

2

n

n 1^.cos2n 1 ^{... cos}2n1 ^

4 _{... cos}2n

c) R  cos ₂²^

n 1^.cos2n1

2n 1

Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin⁴ cos⁴x  ₄³ ¹₄cos4x

b) sin⁶x  cos⁶x   cos4x

5 3

8 8

c) sinx.cos³x  cosx.sin³x  ¹₄sin4x

d) sin⁶₂^x cos⁶₂^x ¹₄cosx(sin²x  4)

1sin²x



 x 

e) 1sinx  2sin²





f)

 1





4

2 









 4

x^_

2

cot

x .cos²







4



1

 cos^_^

₂x^_







x 

2 

h) tan_x  ¹^^sin2^x



 4





g) tan 4 ^

.

^ 1





sin ₂x^_



cos2x





cosx

 x 

 cot_

 4 2 

tan²2x  tan²x

ⁱ⁾¹sinx



k) tanx.tan3x 

m) cotx  tanx 



1

 tan²x.tan²2x

2

l) tanx  cotx  2cotx

sin2x

1

2

 cosx  cos ₈^x, vôùi 0  x  ^₂

1 1 1 1 1

 

2 2 2 2 2

n)

.

VẤN ĐỀ 3: Công thức biến đổi

Biến đổi thành tổng:

a) 2sin(ab).cos(ab)

b) 2cos(ab).cos(ab)

c) 4sin3x.sin2x.cosx

d) 4sin¹.cosx.cos ₂^x

3x

2

f) sin^₅.sin ²₅^

h) 8cosx.sin2x.sin3x

e) sin(x 30^o).cos(x 30^o)

g) 2sinx.sin2x.sin3x.





 

6 







 

6 

i) sin x 

.sin x  _.cos2x

k) 4cos(ab).cos(bc).cos(c a)





Chứng minh:







3







 3







 3







 3





a) 4cosx.cos

x cos

x  cos3x

b) 4sinx.sin_x sin

x  sin3x













Áp dụng tính:

A  sin10^o.sin50^o.sin70^oB  cos10^o.cos50^o.cos70^o

C  sin20⁰.sin 40⁰.sin 80⁰

D  cos20⁰.cos 40⁰.cos80 ⁰

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Biến đổi thành tích:

a) 2sin4x  2

b) 3 4cos²x

c) 13tan²x

d) sin2x  sin4x sin6x

e) 3 4cos4x  cos8x

f) sin5x  sin6x  sin7x  sin8x

g) 1sin2x–cos2x–tan2x

i) cos5x  cos8x  cos9x  cos12x

Rút gọn các biểu thức sau:

h) sin²(x 90^o)3cos²(x 90^o)

k) cosx  sinx 1

a) A  ^cos7^x^^cos8^x^^cos9^x^^cos10^x

b) B  ^s_sⁱ_iⁿ_n²₃_x^x_^₂²_s^s_iⁱ_nⁿ₄³^x_x^_^s_sⁱ_iⁿ_n⁴₅_x^x

d) D  _c^s_oⁱⁿ_s4⁴_x^x_^_c^s_oⁱⁿ_s⁵₅^x_x^_^s_cⁱ_oⁿ_s⁶₆^x_x

sin7x sin8x sin9x  sin10x

_c)_C_1^^cos^x^^cos2^x^^cos3^x

2

cosx  2cos x 1

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A  cos^₅ cos ²₅^

b) B  tan ₂₄^ tan ⁷₂₄^

c) C  sin²70^o.sin²50^o.sin²10^o

d) D  sin²17^osin²43^osin17^o.sin43^o

1

3

cos10^o

e) E 

_o 2sin70^o

f) F 

_o 

2

sin10

tan80^o

cot 25^o cot 75

cot10^o

tan25^o tan75^o

g) G 

_o 

h) H  tan9⁰tan27⁰tan63⁰tan81⁰

ĐS: A  ¹₂

1

C 

64

D 

3

4

B  2( 6  3)

E = 1 F = 4

G = 1

H = 4

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin ₃₀^

_sin7 _sin13 _sin19 _sin25

1

32

ĐS:

30

b) 16.sin10^o.sin30^o.sin50^o.sin70^o.sin90^o

ĐS: 1

ĐS: ₂¹

c) cos24^o cos48^o cos84^o cos12^o

d) cos ²₇^ cos ⁴₇^ cos ⁶₇^

e) cos^₇ cos ²₇^ cos ³₇^

f) cos^₉ cos ⁵₉^ cos ⁷₉^

g) cos ²₅^ cos ⁴₅^ cos ⁶₅^ cos ⁸₅^

h) cos₁₁^ cos ³₁₁^ cos ⁵₁₁^ cos ⁷₁₁^ cos ⁹₁₁^

ĐS:  ¹₂

ĐS: ₂¹

ĐS: 0

ĐS: –1

ĐS: ₂¹

Chứng minh rằng:

a) tan9^otan27^otan63^otan81^o 4

b) tan20^otan40^o tan80^o 3 3

c) tan10^otan50^o tan60^o tan70^o 2 3

d) tan30^o tan40^o tan50^o tan60^o ⁸

³.cos 20^o

3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

e) tan20^o tan40^o tan80^o tan60^o 8sin40^o

f) tan⁶20^o33tan⁴20^o27tan²20^o3  0

Tính các tổng sau:

a) S₁ cos  cos3  cos5  ...  cos(2n1) ( k)

b) S₂ sin^_n sin ²_n^ sin ³_n^

__...__sin(n1) _.

n

c) S₃ cos^_n cos ³_n^ cos ⁵_n^ ... cos ⁽²ⁿ^¹⁾^ .

n

1

_cos4_a_.cos5_a, vôùi a  ^₅.

d) S₄ 

cosa.cos2a ^cos2a.cos3a ^^...^





1 

cosx  cos2x 

1 

1 _cos¹₃_x^_... 1



1



_cos2n1x 

e) S₅ 1

1











sin2n

sin

; S₂ cot ₂^_n

S₃ cos^_n ;

ĐS: S₁ ₂

;

S₅ ^tan2ⁿ^¹^x

S₄ ^tan5^a^^tan^a 1 5 ;

sina

_tanx

2

a) Chứng minh rằng: sin³x  ¹₄(3sinx sin3x)

(1)

b) Thay x  ^a_nvaøo (1), tínhS_n sin³3sin³^a₂ ... 3ⁿ^¹

a

3

sin³^a

3ⁿ

.

3

ĐS: S_n ¹3ⁿsin sina .



a

3ⁿ







4





a) Chứng minh rằng: cosa  ₂^si_sⁿ_in²^a_a

.

b) Tính P_n cos ₂^xcos ₂^x₂... cos ₂^x_n

.

sinx_x_.

ĐS: P_n 

2ⁿ

sin

2ⁿ

1

sinx

 cot ₂^x cotx .

a) Chứng minh rằng:

1

sin2ⁿ^¹

ĐS: Scot^₂ cot 2ⁿ^¹

b) Tính S

sin ^sin2 ^^...^

(2ⁿ^¹ k )

a) Chứng minh rằng: tan²x.tan2x  tan2x 2tanx .

ĐS: S_n tana 2ⁿtan ₂^a_n

₂__..._₂_n_₁_tan₂₂^a_n .tan

a

₂n1

b) Tính S_n__tan₂₂^a.tana_2tan2 .tan^a

a

₂2

1

tan²x cot²x sin²x cos²x

1

8

ĐS:

9

Tính sin²2x, biết:



 7

Chứng minh các đẳng thức sau:

 2sin²2x _

1 tan2x

1 tan2x

b) ¹

a) cotx  tanx  2tan2x  4cot 4x

1

sin4x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

ĐẠ

Ố

FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

1

cos⁶x

3tan²x _₁

1

cos4x

_sin2x  cos2x

sin2x  cos2x

c)

 tan⁶x 

d) tan4x 

2

cos x

e) tan6x  tan4x  tan2x  tan2x.tan4x.tan6x

sin7x _₁__2cos2_x__2cos4_x__2cos6_x

f)

sinx

g) cos5x.cos3x sin7x.sinx  cos2x.cos4x

a) Cho sin(2ab)  5sinb . Chứng minh: ^2tan(^a^^b⁾ 3

tana

b) Cho tan(ab)  3tana. Chứng minh: sin(2a 2b) sin2a  2sin2b

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) sinA sinB  sinC  4cos^A₂cos^B₂cos^C₂

b) cosA cosB  cosC  1 4sin^A₂sin^B₂sin^C₂

c) sin2A sin2B  sin2C  4sinA.sinB.sinC

d) cos2A cos2B  cos2C  1 4cosA.cosB.cosC

e) cos²A cos²B cos²C  12cosA.cosB.cosC

f) sin²Asin²Bsin²C  22cosA.cosB.cosC

Tìm các góc của tam giác ABC, biết:

a) B C  ^₃vaø sinB.sinC  ¹₂

.

ĐS: B  ^₂, C  ^₆, A  ^₃

b) B C  ²vaø sinB.cosC  ¹^³. ĐS: A  ^₃, B  ⁵₁₂^, C  ^



3

4

Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:

a) cos2A cos2B  cos2C  1

b) tan2A tan2B  tan2C  0

B ac

d) cot ₂ 

b

c

a

c)

cosB ^cosC ^sinB.sinC

Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:

a) atanAbtanB  (ab)tan^A^^B

b) 2tanB tanC  tan²B.tanC

2

_c^s_oⁱⁿ_s^A_A^_^s_cⁱ_oⁿ_s^B_B ¹₂(tanA tanB) d) cot^C₂

_2sinA.sinB

sinC

c)

Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác

ABC đều:

a) sinA sinB  sinC  ^3 3

HD: Cộng sin ^₃ vào VT.

2

b) cosA cosB  cosC  ₂³

HD: Cộng cos^₃ vào VT.

c) tanA tanB  tanC  3 3

(với A, B, C nhọn)

d) cosA.cosB.cosC  ¹₈HD: Biến đổi cosA.cosB.cosC  ¹₈về dạng hằng đẳng thức.

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309