Giải SBT Toán 7 Ôn tập cuối năm (Phần Đại số - phần Hình học)

Bài 1 trang 100 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Giả sử x = a / m, y = b / m (a, b, m ∈ Z, m > 0) và x < y. Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn thì ta có x < z < y.

Lời giải:

Vì x < y nên a < b. Ta có

Chọn số . Do 2a < 2a + 1 nên x < z. (1)

Do a < b nên a + 1 ≤ b suy ra 2a + 2 ≤ 2b.

Ta có 2a + 1 < 2a + 2 ≤ 2b nên 2a + 1 < 2b, do đó z < y. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x < z < y.

Nhận xét trên cho thấy: trên trục số, giữa hai điểm hữu hạn bất kì, tồn tại một điểm hữu tỉ, do đó tồn tại vô số điểm hữu tỉ.

Bài 2 trang 100 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tính

Lời giải:

Bài 3 trang 100 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tìm x biết rằng:

Lời giải:

Bài 4 trang 100 sách bài tập Toán 7 Tập 2: So sánh

a) và -47

b) √37 - √14 và 6 - √15.

Lời giải:

a)= 2 – 50 = -48 < -47.

b) √37 > √36 = 6 ⇒ √37 > 6        (1)

-√14 > -√15        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: √37 - √14 > 6 - √15.

Bài 5 trang 100 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có chu vi bằng 24cm và các cạnh a, b, c tỉ lệ với 3, 4, 5

a) Tính các cạnh của tam giác ΔABC;

b) Tam giác ABC có phải là tam giác vuông không? Vì sao?

Lời giải:

a) Vì a, b, c tỉ lệ với 3, 4, 5 và a + b + c = 24 (cm), nên:

Vậy a = 6, b = 8, c = 10 (tính theo cm)

b) ΔABC là tam giác vuông vì a² + b² = 36 + 64 = 100 = c².

Bài 6 trang 100 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ hãy vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O(0;0) và A(1;2). Đường thẳng OA là đồ thì của hàm số nào?

Lời giải:

Trước hết hãy xác định các điểm O và A. O chính là gốc tọa độ. A là điểm có hoành độ là 1 và tung độ là 2. Xem hình 111.

Đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = 2x.

Bài 7 trang 100 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Hàm số y = f(x) được cho bởi công thức y = -1,5x.

a) Vẽ đồ thị của hàm số trên;

b) Bằng đồ thị hãy tìm các giá trị f(-2), f(1), f(2) (và kiểm tra lại bằng cách tính).

Lời giải:

a) Học sinh tự vẽ.

b) Đáp số: f(-2) = 3,       f(1) = -1,5,       f(2) = -3.

Bài 8 trang 100 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Hãy sưu tầm một biểu đồ hình quạt (trong sách, báo hoặc tại một cuộc triển lãm) rồi nêu ý nghĩa của biểu đồ đó.

Lời giải:

Học sinh tự tìm.

Bài 9 trang 101 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Hai vòi nước cùng chảy lần lượt vào hai bể. Bể thứ hai có sẵn 50 lít nước. Bể thứ nhất chưa có nước. Mỗi phút vòi thứ nhất chảy vào bể 1 được 20 lít, vòi thứ hai chảy vào bể 2 được 30 lít.

a) Viết biểu thức đại số mô tả số nước trong mỗi bể sau thời gian x phút.

b) Tính lượng nước có trong mỗi bể sau x = 1, 2, 3, 10 phút rồi điền kết quả vào bảng sau:

	1	2	3	10
Bể 1
Bể 2
Cả hai bể

Lời giải:

a) Bể 1: 20x;       Bể 2: 30x + 50;

b)

	1	2	3	10	2
Bể 1	20	40	60	200	20x
Bể 2	80	110	140	350	30x + 50
Cả hai bể	100	150	200	550	50x + 50

Bài 10 trang 101 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Đánh dấu x vào ô mà em chọn là nghiệm của đa thức

1) 2x – 5

2,5

0

-2,5

2) 2x² – 50

-5

-12,5

5

12,5

3) 13x – 26

-2

2

13

-13

4) -x² + x + 2

-1

1

-2

2

Lời giải:

Học sinh tự giải.

Bài 1 trang 101 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho hình 107 trong đó ∠B = 40^o, ∠D = 130^o, AB // DE. Tính ∠BCD.

Lời giải:

Kẻ CK // AB. Do CK // AB, DE // AB nên CK // DE.

AB // CK ⇒ ∠BCK = ∠B = 40° (so le trong)

CK // DE ⇒ ∠DCK bù ∠CDE (góc trong cùng phía)

⇒ ∠DCK = 180° - 130° = 50°.

Do đó: ∠BCD = ∠BCK + ∠DCK = 40° + 50° = 90°.

Bài 2 trang 101 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của OA, OB. Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C. Chứng minh rằng:

a) CE = OD;        b) CE ⊥ CD;

c) CA = CB;        d) CA // DE;

e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải:

a) CE // OD (cùng vuông góc với OB) ⇒ ∠C₁ = ∠O₁ (so le trong)

ΔOCE = ΔCOD (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ CE = OD.

b) CD // OE (cùng vuông góc OA) ⇒ ∠(BEC) = ∠(ECD) (so le trong)

Ta lại có ∠(BEC) = 90^o nên ∠(ECD) = 90^o.

Vậy CE ⊥ CD.

c) CD là đường trung trực của OA ⇒ CO = CA.

CE là đường trung trực của OB ⇒ CO = CB.

Do đó CA = CB.

d) (h.114) Ta có CE = OD (câu a))

mà OD = DA nên CE = DA.

Ta lại có ∠(ECD) = 90^o (câu b)).

Do đó ΔECD = ΔADC (c.g.c)

⇒ ∠D₁ = ∠C₃ ⇒ CA // DE (hai góc so le trong bằng nhau).

e) Cách 1: Theo câu d): CA // DE. Chứng minh tương tự: CB // DE.

Qua C ta có CA và CB cùng song song với DE nên theo tiên đề Ơ-clit: A, C, B thẳng hàng.

Cách 2. CO = CA ⇒ ΔOCA cân ⇒ đường cao CD là đường phân giác của góc OCA ⇒ ∠C₂ = ∠C₃ ⇒ ∠(OCA) = 2∠C₂ .

Chứng minh tương tự: ∠C₁ = ∠C₄ ⇒ ∠(OCB) = 2∠C₁.

Do đó:

∠(OCA) + ∠(OCB) = 2∠C₂ + 2∠C₁ = 2(∠C₂ + ∠C₁) = 2∠(ECD) = 2.90^o = 180^o.

Vậy A, C, B thẳng hàng.

Bài 3 trang 102 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tìm giá trị của x trên hình 108 biết rằng AB // DE

Lời giải:

Kẻ CK // AB. Do CK // AB, DE // AB nên CK // DE.

Ta có AB // CK ⇒ ∠(BCK) = ∠B = 30^o (so le trong)

Suy ra

∠(DCK) = ∠(BCD) - ∠(BCK) = 100^o - 30^o = 70^o.

CK // DE ⇒ ∠D = ∠(DCK) = 70^o (so le trong)

Vậy x = 70^o.

Bài 4 trang 102 sách bài tập Toán 7 Tập 2: So sánh các cạnh của tam giác CDE trên hình 109 biết rằng BE // CD.

Lời giải:

Trước hết ta tính các góc của ΔECD.

ΔAEC cân tại E ⇒ ∠A = ∠C₁ = 30^o.

∠(CED) là góc ngoài của ΔAEC.

⇒ ∠(CED) = A + ∠C₁ = 30^o + 30^o = 60^o.

BE // CD ⇒ ∠(ACD) = ∠(ABE) = 85^o (đồng vị)

⇒ ∠C₂ = ∠(ACD) - ∠C₁ = 85^o - 30^o = 55^o.

Xét ΔECD: ∠D = 180^o - ∠(CED) - ∠C₂ = 180^o - 60^o - 55^o = 65^o.

Trong ΔECD: ∠C₂ < ∠(CED) < ∠D ⇒ ED < CD < EC.

Bài 5 trang 102 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, phân giác BD.

a) So sánh các độ dài AB và AD;

b) So sánh các độ dài BC và BD.

Lời giải:

a) ∠D₁ > ∠B₂ (góc ngoài của ΔBDC)

Mà ∠B₁ = ∠B₂ nên ∠D₁ > ∠B₁ .

ΔABD có ∠D₁ > ∠B₁ nên AB > AD.

b) Cách 1. ∠D₂ > ∠A (góc ngoài của ΔABD)

mà ∠A = 90^o nên ∠D₂ > 90^o.

ΔBDC có ∠D₂ > 90^o nên ∠D₂ > ∠C , do đó BC > BD.

Cách 2. Xét các đường xiên BD, BC. Hình chiếu AC > AD nên đường xiên BC > BD.

Bài 6 trang 102 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Kẻ DE ⊥ BC (E ∈ BC). Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh rằng:

a) BD là đường thẳng trung trực của AE;

b) DF = DC;

c) AD > DC.

Lời giải:

a) ΔABD = ΔEBD (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ BA = BE, DA = DE.

Do đó BD là đường trung trực của AE.

b) ΔDEF = ΔDEC (g.c.g) ⇒ DF = DC.

c) Xét ΔDEC vuông tại E:

DE < DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)

Ta lại có DA = DE (câu a)) nên DA < DC.

Bài 7 trang 102 sách bài tập Toán 7 Tập 2: a) Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC thì tam giác đo vuông tại A.

b) Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách ở mép (h.110). Hãy dùng thước và compa vẽ đường vuông góc với AB tại A.

Hướng dẫn: Vẽ điểm C sao cho CA = CB, rồi vẽ điểm E thuộc tia đối của tia CB sao cho CE = CB.

Lời giải:

a) Xem chứng minh ở bài 39.

b) (h.119) ΔABE có đường trung tuyến AC bằng 1/2 BE nên ∠(BAE) = 90^o.

Vậy AE ⊥ AB.

Bài 8 trang 102 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD. Vẽ điểm E sao cho AC là đường trung trực của HE. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của DE với AB, AC. Xét xem các đường thẳng sau là các đường gì trong tam giác HMN: MB, NC, HA, HC, MC, từ đó hãy chứng minh rằng MC vuông góc với AB.

Lời giải:

M thuộc đường trung trực của HD nên MH = MD. MB là đường trung trực của đáy HD của tam giác cân HMD nên MB là tia phân giác của góc HMD. Tương tự NC là tia phân giác của góc HNE. Vậy MB, NC là các đường phân giác góc ngoài của ΔHMN.

Các đường thẳng MB, NC cắt nhau tại A nên HA là đường phân giác của góc trong của ΔHMN.

HC vuông góc với HA tại H nên HC là đường phân giác góc ngoài của ΔHMN.

Các đường thẳng HC và NC cắt nhau tại C nên MC là đường phân giác góc trong của ΔHMN.

MB và MC là các tia phân giác của hai góc kề bù nên MB ⊥ MC.

Vậy MC ⊥ AB.

Bài 9 trang 102 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HC – HB = AB. Chứng minh rằng BC = 2AB.

Lời giải:

Trên HC lấy D sao cho HD = HB. Tam giác ABD có đường cao là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra

∠(ADB) = ∠B . (1)

Ta có: DC = HC – HD = HC – HB = AB = AD

Nên ΔADC cân, do đó ∠(DAC) = ∠C , suy ra

∠(DAB) = ∠B . (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∠(ADB) = ∠B = ∠(DAB) , do đó ΔABD là tam giác đều.

Suy ra AB = BD = AD = DC. Vậy BC = 2AB.