Bài 11 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:
a. (x + 2y)2
b. (x – 3y)(x + 3y)
c. (5 – x)2
Lời giải:
a. (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
b. (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2
c. (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2
Bài 12 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:
a. (x – 1)2
b. (3 – y)2
c. (x - 1/2 )2
Lời giải:
a. (x – 1)2 = x2 –2x + 1
b. (3 – y)2 = 9 – 6y + y2
c. (x - 1/2 )2 = x2 – x + 1/4
Bài 13 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a. x2 + 6x + 9
b. x2 + x + 1/4
c.2xy2 + x2y4 + 1
Lời giải:
a. x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2
b. x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2 )2
c. 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2
Bài 14 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:
a. (x + y)2 + (x – y)2
b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
Lời giải:
a. (x + y)2 + (x – y)2
= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
= 2x2 + 2y2
b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2
c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2
= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2
Bài 15 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.
Lời giải:
Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)
Ta có: a2 = (5k + 4)2
= 25k2 + 40k + 16
= 25k2 + 40k + 15 + 1
= 5(5k2 + 8k +3) +1
Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5
Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.
Bài 16 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau:
a. x2 – y2 tại x = 87 và y = 13
b. x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101
c. x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97
Lời giải:
a. Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)
Thay x = 87, y = 13, ta được:
x2 – y2 = (x + y)(x – y)
= (87 + 13)(87 – 13)
= 100.74 = 7400
b. x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 101.
= x3 - 3.x2.1 + 3.1.x - 13 = (x-1)3
= (101 - 1)3 = 1003 = 1000000
c. Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27
= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33
= (x + 3)3
Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000
Bài 17 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:
a. (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3
b. (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
c. (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
Lời giải:
a. Biến đổi vế trái ta có:
VT = (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2)
= a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3 = VP
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế trái ta có:
VT = (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]
= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3 = VP
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
c. Biến đổi vế trái ta có:
VT = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)
= (a2 + b2)(c2 + d2) = VP
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
Bài 18 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng:
a. x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x
b. 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x
Lời giải:
a. Ta có: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1
Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x
Vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x.
b. Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1
Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên –(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.
Suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ 0 với mọi x
Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.
Bài 19 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a. P = x2 – 2x + 5
b. Q = 2x2 – 6x
c. M = x2 + y2 – x + 6y + 10
Lời giải:
a. Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4
Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4
Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1
Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.
b. Ta có: Q = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 - 9/4 )
= 2[(x - 2/3 ) - 9/4 ] = 2(x - 2/3 )2 - 9/2
Vì (x - 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x - 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 2/3 )2 - 9/2 ≥ - 9/2
Suy ra: Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x - 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3
Vậy Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .
c. Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)
= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4 ) = (y + 3)2 + (x - 1/2 )2 + 3/4
Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x - 1/2 )2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x - 1/2 )2 ≥ 0
⇒ (y + 3)2 + (x - 12 )2 + 3/4 ≥ 3/4
⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0
⇒ y = -3 và (x - 1/2 )2 = 0 ⇒ x = 1/2
Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2
Bài 20 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a. A = 4x – x2 + 3
b. B = x – x2
c. N = 2x – 2x2 – 5
Lời giải:
a. Ta có: A = 4x – x2 + 3
= 7 – x2 + 4x – 4
= 7 – (x2 – 4x + 4)
= 7 – (x – 2)2
Vì (x – 2)2 ≥ 0 nên A = 7 – (x – 2)2 ≤ 7
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2
b. Ta có: B = x – x2
= 1/4 - x2 + x - 1/4
= 1/4 - (x2 – 2.x. 1/2 + 1/4 )
= 1/4 - (x - 1/2 )2
Vì (x - 1/2 )2 ≥ 0 nên B = 1/4 - (x - 1/2 )2 ≤ 1/4
Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 tại x = 1/2 .
c. Ta có: N = 2x – 2x2 – 5
= - 2(x2 – x + 5/2 )
= - 2(x2 – 2.x. 1/2 + 1/4 + 9/4 )
= - 2[(x - 1/2 )2 + 9/4 ]
= - 2(x - 1/2 )2 - 9/2
Vì (x - 1/2 )2 ≥ 0 nên - 2(x - 1/2 )2 ≤ 0
Suy ra: N = - 2(x - 1/2 )2 - 9/2 ≤ - 9/2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là - 9/2 tại x = 1/2 .
Bài 3.1 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho x2 + y2 = 26 và xy = 5, giá trị của (x-y)2 là:
A. 4
B. 16
C. 21
D. 36
Lời giải:
Chọn B
Bài 3.2 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Kết quả của tích (a2 + 2a + 4)(a − 2) là:
3333Lời giải:
Chọn D. a3 − 8
Bài 3.3 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gon các biểu thức:
a) P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x+4) 2
b) Q = (x-y) 3 + (y+x) 3 + (y-x) 3 – 3xy(x + y)
Lời giải:
a. P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x + 4) 2
= 5x – 1 + 8 + 10x – 40x – 50x2 + 25x2 + 40x + 16
= -25x2 + 15x + 23
b. Q = (x-y) 3 + (y+x)3 + (y-x)3 – 3xy(x + y)
= x3 - 3x2y + 3y2x - y3 + x3 + 3x2y + 3y2x + y3 + y3 - 3x2y + 3y2x - x3- 3x2y - 3y2x
= x3 + y3
Bài 3.4 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:
P = 12(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516 + 1)
Lời giải:
P = 1/2 (52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516 + 1)
= 1/2 (52 + 1)( 52 – 1)( 54 + 1)( 54 + 1)( 58 + 1)(516 + 1)
= 1/2 (54 - 1)( 54 + 1)( 58 + 1)(516 + 1)
= 1/2 ( 58 - 1)( 58 + 1)(516 + 1)
= 1/2 (516 - 1)(516 + 1) = 1/2 (532 - 1)
Bài 3.5 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hằng đẳng thức:
(a+b+c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)
Lời giải:
(a+b+c)3= [(a+b)+c]3 = (a+b)3+3(a+b)2 c+3(a+b)2 c2+c3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3(a2 + 2ab + b2)c + 3ac2 + 3bc2 + c3
= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 6abc + 3b2c + 3ac2 + 3bc2
= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + b) + 3c2(a + b)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)