Giải SBT Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Bài 10 trang 51 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Đặt dấu < > ≥ ≤ vào ô vuông cho thích hợp:

a. (-2).3 (-2).5

b. 4.(-2) (-7).(-2)

c. (-6)2 + 2 36 + 2

d. 5.(-8) 135.(-8)

Lời giải:

a. (-2).3 (-2).5

b. 4.(-2) (-7).(-2)

c. (-6)2 + 2 36 + 2

d. 5.(-8) 135.(-8)

Bài 11 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho m > n, hãy so sánh:

a. 5m và 5n

b. -3m và -3n

Lời giải:

a. 5m < 5n

b. -3m > -3n

Bài 12 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Số b là số âm, số 0 hay số dương nếu:

a. 5b > 3b

b. -12b > 8b

c. -6b ≥ 9b

d. 3b ≤ 15b

Lời giải:

a. Vì 5 > 3 mà 5b > 3b nên b là số dương

b. Vì -12 < 8 mà -12b > 8b nên b là số âm

c. Vì -6 < 9 mà -6b ≥ 9b nên b là số không dương (tức b ≤ 0)

d. Vì 3 < 5 mà 3b ≤ 5b nên b là số không âm (tức b ≥ 0)

Bài 13 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a < b, hãy đặt dấu <, > vào ô vuông cho thích hợp:

a. a2 b2

b. a-3 b-3

Lời giải:

a. a2 b2

b. a-3 b-3

Bài 14 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ:

a. m + 3 > n + 1

b. 3m + 2 > 3n

Lời giải:

a. Ta có: m > n ⇒ m + 3 > n + 3 (1)

1 < 3 ⇒ n + 1 < n + 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m + 3 > n + 1

b. Ta có: m > n ⇒ 3m > 3n (3)

2 > 0 ⇒ 3m + 2 < 3m (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 3m + 2 > 3n

Bài 15 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ:

a. 2m + 1 < 2n + 1

b. 4(m – 2) < 4(n – 2)

c. 3 – 6m > 3 – 6n

Lời giải:

a. Ta có: m < n ⇒ 2m < 2n ⇒ 2m + 1 < 2n + 1

b. Ta có: m < n ⇒ m – 2 < n – 2 ⇒ 4(m – 2) < 4(n – 2)

c. Ta có: m < n ⇒ - 6m > - 6n ⇒ 3 – 6m > 3 – 6n

Bài 16 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho m < n, chứng tỏ:

a. 4m + 1 < 4n + 5

b. 3 – 5m > 1 – 5n

Lời giải:

a. Ta có: m < n ⇒ 4m < 4n ⇒ 4m + 1 < 4n + 1 (1)

1 < 5 ⇒ 4n + 1 < 4n + 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 4m + 1 < 4n + 5

b. Ta có: m < n ⇒ -5m > -5n ⇒ 1 – 5m > 1 – 5n (3)

3 > 1 ⇒ 3 – 5m > 1 – 5m (4)

Từ (3) và (4) suy ra: 3 – 5m > 1 – 5n

Bài 17 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > 0, b > 0, nếu a < b, hãy chứng tỏ:

a. a² < ab và ab < b²

b. a² < b² và a³ < b³

Lời giải:

a. Với a > 0, b > 0 ta có:

a < b ⇒ a.a < a.b ⇒ a² < ab (1)

a < b ⇒ a.b < b.b ⇒ ab < b² (2)

b. Từ (1) và (2) suy ra: a² < b²

Ta có: a < b ⇒ a³ < a²b (3)

a < b ⇒ ab² < b³ (4)

a < b ⇒ a.a.b < a.b.b ⇒ a²b < ab² (5)

Bài 18 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > 5, hãy cho biết bất đẳng thức nào xảy ra:

a. a + 5 > 10

b. a + 4 > 8

c. -5 > -a

d. 3a > 13

Lời giải:

a. Ta có: a > 5 ⇒ a + 5 > 5 + 5 ⇒ a + 5 > 10

b. Ta có: a > 5 ⇒ a + 4 > 5 + 4 ⇒ a + 4 > 9 ⇒ a + 4 > 8

c. Ta có: a > 5 ⇒ -a < -5 ⇒ -5 > -a

d. Ta có: a > 5 ⇒ a.3 > 5.3 ⇒ 3a > 15 ⇒ 3a > 13

Vậy các bất đẳng thức đều xảy ra.

Bài 19 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu < > ≥ ≤ vào ô vuông cho thích hợp:

a. a² 0

b. –a² 0

c. a² + 1 0

d. –a² – 2 0

Lời giải:

a. a² 0

b. –a² 0

c. a² + 1 0

d. –a² – 2 0

Bài 20 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > b và m < n, hãy đặt dấu >, < vào ô vuông cho thích hợp:

a. a(m – n) b(m – n)

b. m(a – b) n(a – b)

Lời giải:

a. a(m – n) b(m – n)

b. m(a – b) n(a – b)

Bài 21 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho 2a > 8, chứng tỏ a > 4. Điều ngược lại là gì? Điều đó có đúng không ?

Lời giải:

Ta có: 2a > 8 ⇒ 2a. 1/2 > 8. 1/2 ⇒ a > 4

Ngược lại: Nếu a > 4 thì 2a > 8

Điều này đúng vì: a > 4 ⇒ a.2 > 4.2 ⇒ 2a > 8

Bài 22 trang 52 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a. Cho bất đẳng thức m > 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức 1m > 0?

b. Cho bất đẳng thức m < 0. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số nào thì được bất đẳng thức 1m < 0?

Lời giải:

a. Ta có: m > 0 ⇒ 1/m² > 0 ⇒ m. 1/m² > 0. 1/m² ⇒ 1/m > 0

b. Ta có: m < 0 ⇒m² > 0 ⇒ 1/m² > 0

m < 0 ⇒ m. 1/m² < 0. 1/m² ⇒ 1/m < 0

Bài 23 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a > 0, b > 0 và a > b, chứng tỏ 1a < 1b

Lời giải:

Ta có: a > 0, b > 0⇒ a.b > 0.b⇒ ab > 0⇒ 1/ab > 0

a > b⇒ a. 1/ab > b. 1/ab⇒ 1/b > 1/a⇒ 1/a < 1/b

Bài 24 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Điền dấu >, < vào ô vuông cho thích hợp:

a. (0,6)² 0,6

b. (1,3)² 1,3

Lời giải:

a. (0,6)² 0,6

b. (1,3)² 1,3

Bài 25 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: So sánh m² và m nếu:

a. m lớn hơn 1

b. m dương nhưng nhỏ hơn 1

Lời giải:

a. Ta có: m > 1 ⇒ m.m > 1.m ⇒ m² > m

b. Ta có: m > 0 và m < 1 ⇒ m.m < 1.m ⇒ m² < m

Bài 26 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a < b và c < d, chứng tỏ a + c < b + d

Lời giải:

Ta có: a < b ⇒ a + c < b + c (1)

c < d ⇒ b + c < b + d (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a + c < b + d.

Bài 27 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a < b, c < d, chứng tỏ ac < bd.

Lời giải:

Với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có:

a < b ⇒ ac < bc (1)

c < d ⇒ bc < bd (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ac < bd.

Bài 28 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Chứng tỏ rằng với a và b là các số bất kì thì:

a. a² + b² – 2ab ≥ 0

b. (a² + b²)/2 ≥ ab

Lời giải:

a. Ta có: (a – b)² ≥ 0 ⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0

b. Ta có: (a – b)² ≥ 0 ⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab ⇒ a² + b² ≥ 2ab

⇒ (a² + b²). 1/2 ≥ 2ab. 1/2 ⇒ (a² + b²)/2 ≥ ab

Bài 29 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a và b là các số dương, chứng tỏ: a/b + b/a ≥ 2.

Lời giải:

Ta có: (a – b)2 ≥ 0 ⇒ a² + b² – 2ab ≥ 0

⇒ a² + b² – 2ab + 2ab ≥ 2ab ⇒ a² + b² ≥ 2ab (*)

a > 0, b > 0 ⇒ a.b > 0 ⇒ 1/ab > 0

Nhân hai vế của (*) với 1/ab ta có:

(a² + b²). 1/ab ≥ 2/ab. 1/ab ⇔ a²/ab + b²/ab ≥ 2 ⇔ a/b + b/a ≥ 2

Bài 30 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a. Với số a bất kì, chứng tỏ: a(a + 2) < (a + 1)²

b. Chứng minh rằng: Trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Lời giải:

a. Ta có: 0 < 1 ⇒ a² + 2a + 0 < a² + 2a + 1 ⇒ a² + 2a < (a + 1)²

⇒ a(a + 2) < (a + 1)²

b. Gọi a, a + 1, a + 2 là ba số nguyên liên tiếp, ta có:

(a + 1)² = a² + 2a + 1 (1)

a(a + 2) = a² + 2a (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a(a + 2) < (a + 1)².

Vậy trong ba số nguyên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Bài 2.1 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho ba số a, b và k mà a > b. Nếu ak < bk thì số k là

A. Số dương

B. Số 0

C. Số âm

D. Số bất kì.

Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng.

Lời giải:

Chọn C

Bài 2.2 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hai số a và b mà – 7a < -7b

Khoanh tròn vào chữ cái trước khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. a – 7 < b - 7

B. a > b

C. a < b

D. a ≤ b.

Lời giải:

Chọn B

Bài 2.3 trang 53 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu <, >, ≥, ≤ vào ô vuông cho đúng

a. |a| 0

b. -|a| 0

c. |a| + 3 0

d. -|a| - 2 0

Lời giải:

a. |a| 0

b. -|a| 0

c. |a| + 3 0

d. -|a| - 2 0

Bài 2.4 trang 54 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Đặt dấu <, > vào ô vuông cho đúng

a. -3 -2;        (-3)² (-2)²

b. -2 1;        (-2)² (1)²

c. 2 3;        (2)² (3)²

d. -2 2,5;        (-2)² (2,5)²

Lời giải:

a. -3 -2;        (-3)² (-2)²

b. -2 1;        (-2)² (1)²

c. 2 3;        (2)² (3)²

d. -2 2,5;        (-2)² (2,5)²

Bài 2.5 trang 54 sách bài tập Toán 8 Tập 2: a. Cho x > 0, chứng tỏ

x + 1/2 ≥ 2

b. Từ kết quả câu a, nếu x < 0 sẽ có kết quả nào ?

Lời giải:

a. Nếu có x + 1/2 ≥ 2 thì suy ra x + 1/x ≥ 2

nên ta sẽ chứng tỏ x + 1/x − 2 ≥ 0

Ta có, x + 1/x − 2 = (x² + 1 − 2x)/x = (x−1)²/x

Vì (x − 1)² ≥ 0 với x bất kì và x > 0 nên (x − 1)²/x ≥ 0

Vậy x + 1/x − 2 ≥ 0 , nghĩa là x + 1/x ≥ 2

b. Nếu x < 0, ta đặt a = -x thì a > 0

Từ kết quả câu a, ta có a + 1/a ≥ 2

Thay a = -x, ta có: −x = 1/(−x) ≥ 2 (1)

Nhân hai vế của (1) với số -1, ta có: x + 1/x ≤ −2

Vậy, với x < 0 thì x + 1/x ≤ −2