Giải SBT Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Bài 6 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có Cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự tại M và N. Tính theo a độ dài các đoạn thẳng DM và EN.

Lời giải:

Ta có: AD = DE = EB = 13 AB (gt) (1)

Suy ra: AE = AD + DE = 23 AB (2)

Trong ΔABC, ta có: DM // BC (gt)

Nên (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra : (3)

Từ (1) và (3) suy ra:

Suy ra: DM = 13/a

Trong ΔABC, ta có: EN // BC (gt)

Từ (2) và (4) suy ra: hay EN =23 a

Bài 7 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình vẽ bên

Cho biết MN // BC, AB =25cm, BC = 45cm, AM = 16cm, AN =10cm

Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng MN,AC.

Lời giải:

Trong ΔABC,ta có: MN // BC (gt)

Suy ra: (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 10/25 = 16/y = x/45

Vậy: y = (25.16)/10 = 40

x = (10.45)/25 =18

Bài 8 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình vẽ cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB =24cm, AM=24cm, AN = 12cm. Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng NC, BC.

Lời giải:

Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt)

Suy ra:

Suy ra:

Vậy NC = AC – AN = 18 – 12 = 6(cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMN, ta có:

MN² = AM² + AN² = 16² + 12² = 400

Trong ΔABC, ta có: MN // BC (gt)

Suy ra:

Vậy:

Bài 9 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O

Chứng minh rằng: OA.OD = OB.OC

Lời giải:

Trong ΔOCD, ta có: AB // CD (gt)

Suy ra (hệ quả định lí ta-lét)

Vậy OA.OD = OB.OC

Bài 10 trang 84 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC, và BC theo thứ tự các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng MN = PQ.

Lời giải:

Trong ΔADB, ta có: MN // AB (gt)

Suy ra: hệ quả định lí ta-lét) (1)

Trong ΔACB, ta có: PQ // AB (gt)

Suy ra: Hệ quá định lí Ta-lét) (2)

Lại có: NQ // AB (gt)

       AB // CD (gt)

Trong ΔBDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra: (Định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra hay MN = PQ.

Bài 11 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho .Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt BC tại F. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I

Trong ΔAEC, ta có: EI // CD

Suy ra:

Suy ra:

Lại có :

Suy ra:

Từ (1) và (2) suy ra:

Trong ΔABC, ta có: IE // AB

Suy ra: (định lí ta-lét) (3)

Trong ΔADC, ta có : EI // CD

Suy ra: (định lí ta-lét) (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Trong ΔABC, ta có: IF // BC

Suy ra: (định lí ta-lét)

Suy ra:

Ta có:

Suy ra:

Từ (5) và (6) suy ra:

Vậy:

Bài 12 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm

a. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.

b.So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu của CD và AB

Lời giải:

a. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD (1)

Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên)

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

Suy ra: ΔADC = ΔBCD (c.c.c)

Suy ra : ∠(ACD) =∠( BDC)

Hay ∠(OCD) = ∠( ODC)

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: OD = OC (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO

Trong ΔOCD, ta có:

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét)

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong ΔOCD, ta có: MN // CD

Suy ra: Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra:

Suy ra: MN = 1/4 CD = 1/4 .5,6 = 1,4 (cm)

Ta có: MB = MD (gt)

Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM

Lại có: AB // CD (gt) suy ra: MN // AB

Trong ΔOAB, ta có: MN // AB

Suy ra: (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra:

Vậy: AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8(cm)

b.Ta có:

Vậy

Bài 13 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M. Chứng minh rằng:

a. MN // AB

b. MN = (CD-AB)/2

Lời giải:

a. Gọi P là trung điểm của AD, nối PM

Trong ΔDAB ta có:

Suy ra:

Suy ra: PM // AB (Định lí đảo của định lí Ta-lét) (1)

Trong ΔACD, ta có

Suy ra:

Suy ra: PN // CD (định lí đảo định lí Ta-lét) (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề Ơ-clít suy ra P, M, N thẳng hàng.

Vậy MN // CD hay MN // AB.

b. Vì PM là đường trung bình của tam giác DAB nên:

PM = AB/2 (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì PN là đường trung bình của tam giác ΔACD nên:

PN = CD/2 (tính chất đường trung hình tam giác)

Mà PN = PM + MN

Suy ra: MN = PN – PM = CD/2 - AB/2 = (CD-AB)/2

Bài 14 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng OM = ON.

Lời giải:

Trong ΔDAB, ta có: OM // AB (gt)

(Hệ quả định lí Ta-lét) (1)

Trong ΔCAB, ta có: ON // AB (gt)

(Hệ quả định lí Ta-lét) (2)

Trong ΔBCD, ta có: ON // CD (gt)

Suy ra: (định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Vậy: OM = ON

Bài 15 trang 86 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài tương ứng là m, n, p. Hãy dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dải là q sao cho m/n = p/q

Lời giải:

* Cách dựng:

- Dựng hai tia chung gốc Ox và Oy phân biệt không đối nhau

- Trên tia Ox dựng đoạn OA = m và dựng đoạn AB = n sao cho A nằm giữa O và B

- Trên tia Oy dựng đoạn OC = p.

- Dựng đường thẳng AC

- Từ B dựng đường thẳng song song với AC cắt tia Oy tại D.

Đoạn thẳng CD = q cần dựng.

* Chứng minh:

Theo cách dựng, ta có: AC // BD.

Trong ΔOBD ta có: AC // BD

Bài 16 trang 86 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho đoạn thẳng AB = 3cm, CD = 5cm, EF = 2cm. Hãy đựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài là a sao cho Tính giá trị của a

Lời giải:

* Cách dựng:

- Dựng hai tia chung gốc ox và Oy

phân biệt không đối nhau.

- Trên Ox dựng đoạn OM = AM = 3cm

và dựng đoạn MN = CD = 5cm sao cho M nằm giữa O và N

- Trên tia Oy dựng đoạn OP = EF = 2cm.

- Dựng đường thẳng PM.

- Từ N dựng đường thẳng song song với PM cắt tia Oy tại Q.

Đoạn thẳng PQ = a cần dựng..

* Chứng minh:

Theo cách dựng, ta có: PM // NQ.

Trong ΔONQ ta có: PM // NQ

Bài 2.1 trang 86 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình bs.1 cho biết AB // CD, O ∈ MN, MN = 5cm, OB = 1,5cm, OD = 4,5cm, MB = 1cm.

Hãy chọn kết quả đúng.

1. Độ dài của đoạn thẳng MO (tính theo đơn vị cm) là :

A. 1,25

B. 2,25

C. 3,25

D. 4,25

2. Độ dài của đoạn thẳng NO (tính theo đơn vị cm) là:

A. 5,75

B. 3,75

C. 4,25

D. 2,75

Lời giải:

1. Chọn A

2. Chọn C

Bài 2.2 trang 86 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại O. Chứng minh rằng OM.OC = ON.OB

Lời giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và AB nên đường thẳng MN song song với BC.

Do đó tứ giác BCMN là hình thang và có hai đường chéo BM và CN cắt nhau tại O.

Theo kết quả chứng minh ở bài tập số 9, ta có: OM.OC = ON.OB.

Bài 2.3 trang 86 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:

Lời giải:

a. Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:

Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

b. Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

S_AEO = S_BFO (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

S_DEO = S_CFO (2)

Từ (1) và (2) suy ra : S_OAD = S_OBC (3)

Suy ra: OH.AD = OK.BC

⇔