Giải SBT Toán 8 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 17 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm. Đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a. Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

Lời giải:

Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của (BAC)

Suy ra: (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên

Suy ra: (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra:

b. Kẻ AH ⊥ BC

Ta có: S_ABD = 1/2 AH.BD; S_ADC = 1/2 AH.DC

Bài 18 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có các đường phân giác AD,BE,CF

Chứng minh rằng:

Lời giải:

Trong ΔABC, ta có: AD là đường phân giác của ∠(BAC)

Suy ra: (tính chất đường phân giác) (1)

BE là đường phân giác của ∠(ABC)

Suy ra: (tỉnh chất đường phân giác) (2)

CF là đường phân giác của ∠(ACB)

Suy ra: (tính chất đường phân giác) (3)

Nhân từng vế (1), (2) và (3) ta có:

Bài 19 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b.Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N.

a. Chứng minh MN // AC

b. Tính MN theo a, b.

Lời giải:

a. Trong ΔBAC, ta có: AM là đường phân giác của (BAC)

Suy ra: (tỉnh chất đường phân giác) (1)

CN là đường phân giác của (BCA)

Suy ra: (tỉnh chất đường phân giác) (2)

Lại có: AB = CB = a (gt)

Từ (1), (2) và (gt) suy ra:

Trong ΔBAC, ta có:

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét).

Ta có: (chứng minh trên)

Suy ra:

Hay

Trong ΔBAC, ta có:

MN //AC (chứng minh trên)

Và

Vậy

Bài 20 trang 87 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có AB= 12cm, AC = 20cm, BC= 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E ∈ BC).

a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC, DE.

b. Cho biết diện tích tam giác ABC là S,tính diện tích các tam ABD, ADC, DCE

Lời giải:

a. * Trong ΔABC, ta có:

AD là đường phân giác của ∠(BAC)

Suy ra: (tính chất tia phân giác)

Suy ra:

Suy ra:

Suy ra:

Vậy DC = BC - DB = 28 - 10,5 = 17,5 (cm)

* Trong ΔABC, ta có: DE // AB

Suy ra: (Hệ quả định lí Ta-lét)

Vậy:

b. Vì ΔABD và ΔABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:

Vậy: S_ABD = 3/8.S

S_ADC = S_ABC - S_ABD = S - 3/8.S = 8/8.S - 3/8.S = 5/8.S

Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên AE = DE

Ta có:

Vậy: S_ADE = 7,5/20 S_ADC = 7,5/20 . 5/8.S = 7,5/32.S

Ta có: S_DCE = S_ADC - S_ADE = 5/8.S - 7,5/32.S = 12,5/32.S

Bài 21 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thắng qua D song song với AB cắt AC tại E.

a.Tính dộ dài các đoạn thẳng BD,DC và DE.

b. Tính diện tích tam giác ABD và diện tich tam giác ACD.

Lời giải:

a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 21² + 28² = 1225

Suy ra: BC = 35 (cm)

Vì AD là đường phân giác của ∠(BAC) nên:

(t/chất đường phân giác)

Suy ra:

Hay

Suy ra:

Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20cm

Trong ΔABC ta có: DE // AB

Suy ra: (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra:

b. Ta có: S_ABC = 1/2.AB.AC = 1/2.21.28 = 294 (cm²)

Vì ΔABC và ΔADB có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:

Vậy S_ADC = S_ABC – S_ABD = 294 – 126 = 168(cm²)

Bài 22 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.

a. Tính AD, DC.

b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC tại E. Tính EC.

Lời giải:

Vì BD là đường phân giác của ∠(ABC) nên:

(t/chất đường phân giác)

Suy ra:

Mà ΔABC cân tại A nên AC = AB = 15 (cm)

Suy ra: AD/15 = 15/(15+10) ⇒ AD = (15.15)/25 = 9(cm)

Vậy DC = AC – AD = 15 – 9 = 6 (cm)

b. Vì BE ⊥ BD nên BE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B

Suy ra : ( t/chất đường phân giác)

Suy ra: ⇒ EC.BA= BC (EC + AC)

Suy ra: EC.BA - EC.BC = BC.AC ⇒EC (BA - BC) = BC.AC

Vậy

Bài 23 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có góc A = 90^o, AB = 12cm, AC=16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D.

a. Tính BC, BD và DC.

b. Kẻ đường cao AH, tỉnh AH, HD và AD.

Lời giải:

a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = 12² + 16² = 400

Suy ra: BC =20 (cm)

Vì AD là đường phân giác của ∠(BAC) nên:

(tỉnh chất đường phân giác)

Suy ra:

Suy ra:

Vậy : DC = BC – DB = 20 - 60/7 = 80/7 (cm)

b. Ta có: SABC =1/2.AB.AC =1/2.AH.BC

Suy ra: AB.AC = AH.BC

Trong tam giác vuông AHB, ta có: ∠(AHB ) = 90^o

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: AB2 = AH² + HB²

Suy ra: HB² = AB² - AH² = 12² - (9,6)² = 51,84 ⇒ HB =7,2 (cm)

Vậy HD = BD – HB = 607 - 7,2 ≈ 1,37 (cm)

Trong tam giác vuông AHD, ta có: ∠(AHD) = 90^o

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

AD² = AH² + HD² = (9,6)² + (1,37)² = 94,0369

Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm)

Bài 24 trang 88 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có ∠A = 90°, AB = a (cm), AC = b (cm) (a < b), trung tuyến AM, dường phân giác AD (M và D thuộc cạnh BC)

a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC, AM và DM theo a, b

b. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng trên chính xác đên chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm, b = 7,25cm.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + b²

Suy ra: BC = a² + b²

Ta có: AM = BM = 1/2.BC (tính chất tam giác vuông).

Suy ra: AM = 1/2 √(a² + b²)

Vì AD là đường phân giác của ∠(BAC) nên:

(tính chất đường phân giác)

Suy ra:

hay

b. Với a = 4,15 (cm); b = 7,25 (cm), sử dụng máy tỉnh, ta tính được:

DC ≈ 5,31 cm

AM ≈ 4,18 cm

DM ≈ 1,14cm

Bài 3.1 trang 89 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Biết rằng độ dài của các cạnh góc vuông AB = 3,75cm, AC = 4,5cm

Hãy chọn kết quả đúng (tính chính xác đến chữ số thập phân).

1. Độ dài của đoạn thẳng BD là:

A. 18,58

B. 2,66

C. 2,65

D. 3,25

2. Độ dài đoạn thẳng CD là:

A. 27,13

B. 2,68

C. 3,2

D. 3,15

Lời giải:

1. Chọn B

2. Chọn C

Bài 3.2 trang 89 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình bình hành ABCD có độ dài cạnh AB = a = 12,5cm, BC = b = 7,25cm. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC tại E, đường phân giác của góc D cắt đường chéo AC tại F.

Lời giải: