Giải SBT Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 44 trang 95 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 9cm, BC = 24cm. Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AC tại D, cắt BC tại M. Tính độ dài của đoạn thẳng CD.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông ABC và MDC, ta có:

∠(BAC) = ∠(DMC ) = 90°

∠C chung

Suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC (g.g)

Suy ra:

Suy ra:

Ta có: MC = 1/2 .BC = 1/2 .24 = 12 (cm)

Vây DC = (12.24)/9 = 32 (cm)

Bài 45 trang 95 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang vuông ABCD (∠A = ∠D = 90^o) AD = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD, đặt đoạn AE = 8cm. Chứng minh ∠(BEC) = 90^o

Lời giải:

Ta có: AD = AE + DE

Suy ra: DE = AD – AE = 17 – 8 = 9cm

Xét ΔABE và ΔDEC, ta có:

∠A = ∠D = 90^o (1)

Mà :

Suy ra: (2)

Từ (1) và (2) suy ra :ΔABE đồng dạng ΔDEC (c.g.c)

Suy ra: ∠(AEB) = ∠(DEC)

Trong ΔABE ta có: ∠A = 90^o ⇒ ∠(ABE) + ∠(AEB) = 90^o

Suy ra: ∠(DEC) + ∠(AEB) = 90^o

Lại có: ∠(ABE) + ∠(BEC) +∠(DEC) =∠(AED) = 180^o (kề bù)

Vậy : ∠(BEC) = 180^o- (∠(DEC) + ∠(AEB) ) = 180^o - 90^o = 90^o

Bài 46 trang 95 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC =4cm, BC = 6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng BC). Lấy trên Cx điểm D sao cho BD =9cm. Chứng minh rằng BD // AC

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông ABC và CDB, ta có:

∠(BAC) = ∠(DCB) = 90^o (1)

Mà:

Suy ra: (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ΔABC đồng dạng ΔCDB (cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ)

Suy ra: ∠(ACB) = ∠(CBD)

Bài 47 trang 95 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Trên hình vẽ hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng .Viết các cặp tam giác đồng dạng theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng

Lời giải:

-ΔABC đồng dạng ΔHBA

Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh B chung

-ΔABC đồng dạng ΔHAC

Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

-ΔABC đồng dạng ΔNMC

Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

-ΔHAC đồng dạng ΔNMC

Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung

-ΔHAC đồng dạng ΔHBA

Hai tam giác vuông có góc nhọn ∠(HBA) = ∠(HAC)

-ΔHAB đồng dạng ΔNCM

Hai tam giác vuông có góc nhọn ∠(HAB) = ∠(NCM)

Bài 48 trang 95 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC (∠A = 90^o) có đường cao AH. Chứng minh rằng AH² = BH.CH

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông HBA và HAC, ta có:

∠(HBA) = ∠(AHC) = 90^o

∠B = ∠(HAC) (hai góc cùng phụ C )

Suy ra: ΔHBA đồng dạng ΔHAC (g.g)

Suy ra:

Vậy AH² = BH.CH

Bài 49 trang 96 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có dộ dài là 9cm và 16cm; Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông DAC và DBA ,ta có:

∠(ADC) = ∠(BDA) = 90^o

∠C = ∠(DAB) (hai góc cùng phụ ∠B )

Suy ra: ΔDAC đồng dạng ΔDBA (g.g)

Suy ra:

⇒ DA² =DB.DC

hay DA = √(DB.DC) = √(9.16) = 12 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:

AB² = DA² + DB² = 9² + 12² = 225 => AB =15 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACD,ta có:

AC² = DA² + DC² = 12² +16² = 400 ⇒ AC = 20cm

Vậy BC = BD + DC = 9 + 16 = 25(cm)

Bài 50 trang 96 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác vuông ABC (A = 90^o) có đường cao AH và trung tuyến AM. Tính diện tích tam giác AMH,biết rằng BH = 4cm, CH = 9cm

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông HBA,HAC có:

∠(BHA) = ∠(AHC) = 90^o

∠B = ∠(HAC) (hai góc cùng phụ ∠C )

⇒ΔHBA đồng dạng ΔHAC (g.g)

Suy ra:

⇒ HA² = HB.HC = 4.9 = 36(cm)

Suy ra: AH = 6(cm)

Lại có: BM = 1/2 BC = 1/2 .(9+4) = 1/2 .13 = 6.5cm

Mà HM = BM – BH = 6,5 – 4 = 2,5cm

Vậy SAHM = 1/2 AH.HN = 1/2 .6.2,5 = 7,5cm²

Bài 8.1 trang 96 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho góc nhọn xOy.

Trên tia Ox lấy một điểm A sao cho OA = 8,65cm.

Trên tia Oy lấy một điểm B sao cho OB = 15,45cm

Vẽ AE vuông góc với Oy, BF vuông góc với Ox.

Biết độ dài đoạn thẳng BF = 10,25cm.

Độ dài đoạn thẳng AE (lấy chính xác đến hai chữ số thập phân) là:

A. 13,04 cm

B. 18,31 cm

C. 5,74 cm

D. 5,73 cm

Lời giải:

Chọn C

Bài 8.2 trang 96 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = n = 10,85cm và cạnh AB = m = 12,5cm. Hãy tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác (chính xác đến hai chữ số thập phân)

Lời giải:

Xét hai tam giác ABC và HBA, ta có: ∠BAC = ∠BHA = 1v

Góc B là góc nhọn chung

Vậy ΔABC đồng dạng ΔHBA

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

HB = √(AB²−AH²) = √(m²−n²)

Từ đó, ta có:

Với m = 12,5cm, n = 10,85cm, ta tính được:

AC ≈ 21,85cm; BC ≈ 25,17cm.

Bài 8.3 trang 96 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, chân H của đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài 4cm và 9cm.

Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC.

a. Tính độ dài DE

b. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC theo thứ tự tại M và N . Chứng minh M là trung điểm của BH , N là trung điểm của CH.

c. Tính diện tích tứ giác DENM.

Lời giải:

a. Xét hai tam giác vuông ABH và CAH có:

∠ABH = ∠CAH (cùng phụ với góc ∠BAH)

Do đó ∆ ABH đồng dạng ∆ CAH (g.g).

Suy ra:

⇒AH2 = BH.CH = 4.9 ⇒ AH = 4.9 = 6(cm)

Mặt khác, HD ⊥ AB và HE ⊥ AC nên ADHE là hình chữ nhật.

Suy ra: DE = AH = 6 (cm)

b. Xét tam giác MDH có ∠MDH = ∠MHD (vì cùng bằng góc vuông trừ đi góc bằng nhau ∠ODH = ∠OHD )

Suy ra tam giác MDH cân tại M, do đó MD = MH. (1)

Vì BHD là tam giác vuông tại D nên MD = BM.

Vậy M là trung điểm của BH

Tương tự, ta cũng có N là trung điểm của CH.

c. Theo chứng minh trên, ta có:

DM = MH = 1/2 BH = 1/2.4 = 2(cm)

EN = NH = 1/2 CH = 1/2.9 = 4,5(cm)

DE = AH = 6(cm)

DENM là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:

SDENM = 1/2(DM + EN)DE = 1/2.(2+4,5).6 = 19,5(cm²).